الرقم التخيلي “i”- في الأساس ، رقم ينتج عنه رقم سالب عند تربيعه - هو حقًا شيء في الرياضيات ، تم اكتشافه لأول مرة في القرنين الخامس عشر والسادس عشر كطريقة لحل بعض المعادلات المعيبة. بينما كان يُنظر إليها في البداية على أنها خدعة صالون ، في القرون التي تلت ذلك ، أصبح يُنظر إليها على أنها أداة لتصور العالم بطرق معقدة ، وهي اليوم مفيدة في مجالات تتراوح من الهندسة الكهربائية إلى ميكانيكا الكم.
يوضح كريستوفر مور: "اخترعنا أرقامًا تخيلية لبعض الأسباب نفسها التي اخترعنا فيها الأعداد السالبة". إنه عالم فيزياء في معهد سانتا في ، وهو مؤسسة بحثية مستقلة في نيو مكسيكو ، ومؤلف مشارك ، مع ستيفان ميرتنز ، لكتاب 2011 "طبيعة الحساب".
يتابع مور: "ابدأ بالحساب العادي". "ما هو اثنان ناقص سبعة؟ إذا لم تسمع أبدًا عن أرقام سالبة ، فهذا غير منطقي. لا توجد إجابة. لا يمكنك الحصول على سالب خمسة تفاحات ، أليس كذلك؟ ولكن فكر في الأمر بهذه الطريقة. يمكنك أن تدين لي خمسة تفاحات ، أو خمسة دولارات. بمجرد أن بدأ الناس في ممارسة المحاسبة ومسك الدفاتر ، كنا بحاجة إلى هذا المفهوم ". وبالمثل ، نحن جميعًا اليوم على دراية بفكرة أنه إذا كتبنا شيكات كبيرة لدفع ثمن الأشياء ، ولكن ليس لدينا ما يكفي من المال لتغطيتها ، فقد يكون لدينا رصيد سلبي في حساباتنا المصرفية.
التفكير الإبداعي يقطع شوطًا طويلاً
هناك طريقة أخرى للنظر إلى الأرقام السالبة - وهذا سيكون مفيدًا لاحقًا - وهي التفكير في التجول في أحد أحياء المدينة ، كما يقول مور. إذا قمت بمنعطف خاطئ وفي الاتجاه المعاكس لوجهتنا - على سبيل المثال ، خمس شوارع جنوبيًا ، عندما كان من المفترض أن تتجه شمالًا - يمكنك التفكير في الأمر على أنه سير خمس كتل سالبة إلى الشمال.
يقول مور: "من خلال اختراع الأرقام السالبة ، فإنه يوسع عالمك الرياضي ، ويمكّنك من التحدث عن أشياء كانت صعبة من قبل".
الأرقام الخيالية والأرقام المركبة - أي الأرقام التي تتضمن مكونًا خياليًا - هي مثال آخر على هذا النوع من التفكير الإبداعي. كما يشرح مور: "إذا سألتك ما هو الجذر التربيعي لتسعة ، فهذا سهل ، أليس كذلك؟ الإجابة هي ثلاثة - على الرغم من أنه يمكن أيضًا أن يكون سالب ثلاثة ،" لأن ضرب سالبين ينتج عنه موجب.
لكن ما هو الجذر التربيعي لسالب واحد؟ هل هناك عدد ، عند ضربه في نفسه ، يعطيك سالب واحد؟ يقول مور: "على مستوى واحد ، لا يوجد مثل هذا العدد".
لكن علماء الرياضيات في عصر النهضة توصلوا إلى طريقة ذكية لحل هذه المشكلة. يتابع مور: "قبل أن نخترع الأعداد السالبة ، لم يكن هناك رقم اثنين ناقص سبعة". "لذا ربما يجب أن نخترع رقمًا يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد، لنسمه “i” .
بمجرد أن توصلوا إلى مفهوم العدد التخيلي ، اكتشف علماء الرياضيات أنه يمكنهم فعل بعض الأشياء الرائعة حقًا باستخدامه. تذكر أن ضرب موجب في عدد سالب يساوي سالب ، لكن ضرب سالبين في بعضهما البعض يساوي موجب. ولكن ماذا يحدث عندما تبدأ بضرب سبع مرات “i” ، ثم ضربها مرة أخرى ومرة أخرى ومرة اخرى؟ لأن “i” في “i” يساوي سالب واحد ، فإن الإجابة هي سالب سبعة. لكن إذا ضربت سبع مرات في “i” في “i” في “i” ، فجأة تحصل على موجب سبعة. يلاحظ مور: "إنهم يلغون بعضهم البعض".
الآن فكر في ذلك. لقد أخذت رقمًا وهميًا ، وقمت بتوصيله بمعادلة عدة مرات ، وانتهى بك الأمر برقم حقيقي تستخدمه بشكل شائع في العالم الحقيقي.
الأرقام الخيالية هي نقاط على مستوى
لم يكتشف علماء الرياضيات إلا بعد بضع مئات من السنين ، في أوائل القرن التاسع عشر ، طريقة أخرى لفهم الأرقام الخيالية ، من خلال التفكير فيها كنقاط على متن الطائرة ، كما يوضح مارك ليفي. إنه أستاذ ورئيس قسم الرياضيات في جامعة ولاية بنسلفانيا ومؤلف كتاب 2012من سنة "لماذا تهبط القطط على أقدامها: و 76 مفارقات وألغاز فيزيائية أخرى".
عندما نفكر في الأرقام كنقاط على خط ما ، ثم نضيف بعدًا ثانيًا ، "النقاط على ذلك المستوى هي الأرقام التخيلية" ، كما يقول.
تخيل خط الأعداد. عندما تفكر في رقم سالب ، فإنه يبعد 180 درجة عن الأرقام الموجبة على السطر. يشرح ليفي: "عندما تضرب رقمين سالبين ، فإنك تجمع زاويتهما ، 180 درجة زائد 180 درجة ، وتحصل على 360 درجة. وهذا هو سبب كونها موجبة".
لكن لا يمكنك وضع الجذر التربيعي لسالب واحد في أي مكان على المحور X. إنها لا تعمل. ومع ذلك ، إذا قمت بإنشاء محور Y متعامد مع X ، فلديك الآن مكان لوضعه.
وبينما تبدو الأرقام الخيالية مجرد مجموعة من المباريات الرياضية ، إلا أنها في الواقع مفيدة جدًا لبعض الحسابات المهمة في العالم التكنولوجي الحديث ، مثل حساب تدفق الهواء فوق جناح الطائرة ، أو اكتشاف استنزاف الطاقة من المقاومة مقترنة بالتذبذب في نظام كهربائي. ولم يكن روبرت لانغدون الخيالي يسحب أرجلنا عندما ذكر أنها تستخدم أيضًا في التشفير.
الأعداد المعقدة ذات المكونات التخيلية مفيدة أيضًا في الفيزياء النظرية ، كما يوضح Rolando Somma ، الفيزيائي الذي يعمل في خوارزميات الحوسبة الكمومية في مختبر لوس ألاموس الوطني.
يقول سوما عبر البريد الإلكتروني: "نظرًا لعلاقتها بالدوال المثلثية ، فهي مفيدة لوصف ، على سبيل المثال ، الوظائف الدورية". "تنشأ هذه كحلول لمعادلات الموجة ، لذلك نستخدم أرقامًا معقدة لوصف موجات مختلفة ، مثل الموجة الكهرومغناطيسية. وبالتالي ، كما هو الحال في الرياضيات ، يعد حساب التفاضل والتكامل المركب في الفيزياء أداة مفيدة للغاية لتبسيط العمليات الحسابية."
تلعب الأعداد المركبة أيضًا دورًا في ميكانيكا الكم ، وهي نظرية تصف سلوك الطبيعة على مقياس الذرات والجسيمات دون الذرية.
يوضح سوما: "في ميكانيكا الكم ، تظهر كلمة" أنا "صراحةً في معادلة شرودنجر". "وبالتالي ، يبدو أن للأرقام المعقدة دورًا أساسيًا في ميكانيكا الكم بدلاً من أن تكون مجرد أداة حسابية مفيدة."
يتابع: "إن حالة النظام الكمومي موصوفة بوظيفة الموجة". "كحل لمعادلة شرودنجر ، هذه الدالة الموجية هي تراكب لحالات معينة ، والأرقام التي تظهر في التراكب معقدة. على سبيل المثال ، يمكن وصف ظواهر التداخل في فيزياء الكم بسهولة باستخدام الأعداد المركبة."
المصدر