.jpg)
تنص حدسية Collatz على أن جميع المسارات تؤدي في النهاية إلى الرقم واحد بغض النظر عن العدد الصحيح الموجب الذي يتم اختياره لبدء التسلسل.
يعمل علماء الرياضيات على حل المشكلات. في عملية محاولات حل المشكلات هذه ، يستكشفون الأفكار ويخرجون أحيانًا بمشكلات رياضية أخرى لحلها. قد تستغرق بعض هذه المشكلات أجيالًا من علماء الرياضيات لحلها طوال حياتهم المهنية ، وبعضها يحتاج إلى مساعدة من كمبيوتر عملاق. يبدو أن البعض الآخر غير قابل للحل - على الرغم من أن الإجماع العام هو أننا يجب أن نكون قادرين على حل جميع مشاكل الرياضيات في نهاية المطاف.
تاريخ مشكلة الرياضيات غير المحلولة
إن تخمين Collatz ، أو "مشكلة 3n+1" ، هو أحد المشاكل التي ما زلنا ننتظر حلها. تم تقديم تخمين Collatz في عام 1937 من قبل عالم الرياضيات الألماني Lothar Collatz ، وهو سؤال واضح على ما يبدو مع إجابة مراوغة بشكل مدهش. يفترض التخمين أنه إذا كررت عمليتين حسابيتين بسيطتين ، فسوف ينتهي بك الأمر بتحويل كل عدد صحيح موجب إلى رقم واحد. المشكلة هي أنه لم يثبت بعد أن يكون صحيحًا بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة. ربما مع بعض الأرقام ، يتنقل التسلسل إلى ما لا نهاية.
اختبر علماء الرياضيات ملايين الأعداد الطبيعية ، ولم يثبت أحد أنها خاطئة. لكن لم يثبت أحد أنه صحيح دون قيد أو شرط أيضًا. نُقل عن عالم الرياضيات المجري الأسطوري بول إردوس قوله ، "الرياضيات قد لا تكون جاهزة لمثل هذه المشاكل".
توصل Collatz إلى تخمينه بعد عامين فقط من حصوله على الدكتوراه من جامعة برلين. بالنسبة لشخص قام بالكثير من العمل الرياضي المهم في حياته المهنية ، فإنه معروف بمشكلة جديدة - مشكلة يمكن اختبارها من قبل مجموعة من طلاب الصف الرابع - أمر رائع. في حين أن جميع الحسابات تدعم فكرة أن التخمين صحيح ، فإن حقيقة أنه ظل بدون حل لمدة 86 عامًا يجعل الأمر أكثر إثارة للاهتمام.
.jpg)
طول المسار (عدد الخطوات) لتخمين Collatz ، اعتمادًا على أرقام البداية من واحد إلى 100000.
لماذا يسمى تخمين Collatz أيضًا تسلسل '3n + 1'؟
يُطلق على تسلسل Collatz أيضًا تسلسل "3n + 1" لأنه يتم إنشاؤه بالبدء بأي رقم موجب واتباع قاعدتين بسيطتين فقط: إذا كان عددًا زوجيًا ، فقسّمه على اثنين ، وإذا كان فرديًا ، فضاعفه ثلاث مرات وأضف واحدًا. ومن ثم ، "3n + 1." اتبع هاتين القاعدتين مرارًا وتكرارًا ، وينص التخمين على أنه بغض النظر عن رقم البداية ، ستصل دائمًا في النهاية إلى الرقم واحد.
على سبيل المثال ، ابدأ بالرقم سبعة. إنه رقم فردي ، لذا تعطيه معالجة 3n + 1 القديمة ، والتي تساوي 22. هذا رقم زوجي ، مما يعني أنه يجب عليك قطعه إلى النصف ، وهو ما يعطينا 11. هذا هو الحساب لبقية التسلسل :
34 / 2 = 17
17 x 3 = 51 + 1 = 52
52 / 2 = 26
26 / 2 = 13
13 x 3 = 39 + 1 = 40
40 / 2 = 20
20 / 2 = 10
10 / 2 = 5
5 x 3 = 15 + 1 = 16
16 / 2 = 8
8 / 2 = 4
4 / 2 = 2
2 / 2 = 1
لذا ، إذا بدأت بالرقم سبعة ، فإن تسلسل Collatz هو 7 ، 22 ، 11 ، 34 ، 17 ، 52 ، 26 ، 13 ، 40 ، 20 ، 10 ، 5 ، 16 ، 8 ، 4 ، 2 ، 1. إذا فعلت هذا فقم بذلك مرة أخرى من الرقم واحد ، وهو رقم فردي ، تضرب في ثلاثة وتضيف واحدًا. من هناك تحصل على أربعة ، مما يقلل بسرعة إلى واحد. هذا يبدأ الحلقة التي لا تنتهي أبدًا.
اختراقات محدودة مع "تسلسل Hailstone"
اسم آخر للأرقام التي تم إنشاؤها في تخمين Collatz هو "تسلسل hailstone". كما ترون من التسلسل المذكور أعلاه ، ترتفع الأرقام لأعلى ولأسفل ولأعلى ولأسفل مثل أحجار البرد في سحابة عاصفة ، حيث يتم رفعها للأعلى ، وتجمع الجليد ، وبعد السقوط في الجزء السفلي من السحابة ، تنفجر لأعلى مرة أخرى. في مرحلة ما سقطوا على الأرض. هناك بعض الأرقام التي ، بمجرد أن تصل إليها في حساباتك ، تنخفض بسرعة أكبر ، لكنها في النهاية تنخفض إلى واحد.
لذا ، فإن تخمين Collatz يعمل مع الملايين والملايين من الأرقام - أي شيء يقل عن 19 رقمًا ، في حال كنت تفكر في تجربة حظك بأي شيء أصغر - ولكن أحد المشاكل التي يحاول علماء الرياضيات حلها هي السبب. إذا فهموا ذلك ، فسيكون لديهم طريقة للقول على وجه اليقين أنه يعمل على جميع الأعداد الطبيعية.
الشيء الوحيد الذي يجعل تخمين Collatz مربكًا للغاية هو أنه يتضمن عددًا لا حصر له من الأعداد الصحيحة. حتى أقوى أجهزة الكمبيوتر العملاقة لا يمكنها التحقق من كل رقم لمعرفة ما إذا كان التخمين صحيحًا. ليس بعد على الأقل.
حقق عالم رياضيات في السنوات الأخيرة بعض الاختراق في تخمين Collatz. نشر Terence Tao ، أحد علماء الرياضيات الأكثر موهبة في القرن الماضي ، ورقة بحثية في عام 2019 بعنوان "تقريبًا جميع مدارات Collatz تحقق قيمًا محدودة تقريبًا". Tao ليس مترهل - لقد حصل على درجة الدكتوراه. من جامعة برينستون في سن 21 وأصبح أصغر أستاذ رياضيات في جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس في سن 24. فاز بميدالية فيلدز ، وهي أعلى جائزة في الرياضيات في جميع أنحاء البلاد ، عن عمر يناهز 31 عامًا. اثنين من "تقريبا" في ذلك.
بشكل أساسي ، تشير نتائج Tao إلى طريقة جديدة للتعامل مع المشكلة ولاحظ مدى ندرة انحراف رقم عن قاعدة Collatz. نادر ، لكن ليس بالضرورة غير موجود.
وهذا ، أيها الأصدقاء ، هو أقرب ما جاء في السنوات الأخيرة لحل تخمين Collatz. تذكر ، إذا كنت ستحاول حلها بنفسك ، فابدأ بأرقام تبدأ من 20 رقمًا على الأقل.
المصدر