هل يُمكن لإطار رياضي واحد وصف حركة سائل وجسيماته الفردية؟ هذا السؤال، الذي طُرح لأول مرة عام 1900، له الآن حلٌّ قد يُساعدنا على فهم السلوك المُعقّد للغلاف الجوي والمحيطات.
.jpg)
يتطلب فهم السوائل أدوات رياضية تعمل على مقاييس مختلفة
نجح علماء الرياضيات أخيرًا في توحيد قوانين الفيزياء التي تحكم حركة الجسيمات على مختلف المقاييس. تُجيب جهودهم على سؤال طرحه عالم الرياضيات ديفيد هيلبرت عام 1900، ضمن برنامج طموح لجميع علماء الرياضيات في القرن العشرين، وقد تُعمّق فهمنا للسلوك المعقد للسوائل في الغلاف الجوي والمحيطات.
يقول بنيامين تيكسير من جامعة ليون الفرنسية: "هذه نتيجة مهمة من وجهة نظري. كنت أعتقد أنها بعيدة المنال تمامًا".
على وجه التحديد، أظهر زاهر هاني من جامعة ميشيغان وزملاؤه كيفية ربط القوانين الفيزيائية معًا بشكل متسق وهادف على ثلاثة مقاييس مختلفة. أولًا، هناك المجال المجهري للجسيمات المفردة التي تصطدم ببعضها البعض وفقًا لقوانين إسحاق نيوتن للحركة. أما في المجال الميزوسكوبي للأجسام الأكبر، فتتبع مجموعات هذه الجسيمات القوانين الإحصائية التي وضعها لودفيج بولتزمان. أما على المستوى العياني الأكبر، حيث نعيش، فيلجأ الفيزيائيون إلى أدوات رياضية بالغة الصعوبة مثل معادلة نافييه-ستوكس، التي تلتقط جميع تعقيدات سلوك السوائل.
على مر السنين، أثبت الفيزيائيون والرياضيون بعض الروابط بين الأطر الثلاثة، ولكن حتى الآن لم تتحد هذه الأطر تمامًا. يقول هاني إن السعي إلى ذلك بدأ في القرن التاسع عشر، بعد أن عرض بولتزمان تقنياته الإحصائية وطالب معاصروه بإثبات رياضي دقيق على فعاليتها. وفي نهاية المطاف، تطور هذا إلى المشكلة السادسة على جدول أعمال هيلبرت، والتي تدعو إلى استنباط القوانين التي تحكم سلوك السوائل من أبسط البديهيات الرياضية البسيطة.
يقول عضو الفريق يو دينغ من جامعة شيكاغو إن أحد أسباب استحسان هذا الأمر هو أن بعض هذه القوانين قابلة للعكس مع الزمن وبعضها الآخر ليس كذلك. على سبيل المثال، لا تتأثر قوانين نيوتن باتجاه تدفق الزمن، مما يجعل "قبل" و"بعد" قابلين للتبادل، بينما تشير معادلات بولتزمان الإحصائية إلى طريقة للفصل بينهما. يقول دينغ إن عمل فريقه، المستمر منذ أكثر من نصف عقد، يوضح متى وكيف يحدث هذا التحول، مما يستبعد احتمال وجود مفارقة رياضية مرتبطة بالزمن.
يعتمد أحد المكونات الرئيسية لنهج الفريق على إعادة صياغة الحسابات من حيث المخططات التي وضعها الفيزيائي ريتشارد فاينمان، الذي استخدمها لمعالجة مسائل في نظرية المجال الكمومي. لقد تعلم علماء الرياضيات استخدام هذه المخططات لمعالجة المعادلات الصعبة للجسيمات التي تتفاعل مع بعضها البعض بشكل متكرر، كما يحدث في السوائل، لكن هاني يقول إن هذا قد يصبح مرهقًا. بدلاً من ذلك، وجد الفريق طريقةً لتقليل عدد المخططات التي كان عليهم حسابها بدقة، مما سمح لهم ببناء مسار رياضي واضح من قوانين نيوتن إلى معادلة نافييه-ستوكس.
يقول تيكسير إنه على الرغم من وجود تاريخ طويل من الحلول الجزئية لمسألة هيلبرت السادسة، إلا أن العمل الجديد يُمثل "قفزة نوعية"، إذ يُثبت صحة الطريقة التي طرح بها هيلبرت المسألة والحدس الكامن وراء عمل بولتزمان الأصلي. بعبارة أخرى، يُعيد البرهان الجديد تأكيد الطريقة التي كان الفيزيائيون يفكرون بها في السوائل والغازات لأكثر من قرن، مع ضمان أساس رياضي متين. لكن هاني يقول إن الفريق لا يشعر بأن عملهم يُنهي مهمة هيلبرت.
يقول: "إن أهمية مسألة هيلبرت السادسة لا تكمن فقط في تبسيط قوانين الفيزياء، بل تكمن أيضًا في فهم آثار هذه النماذج الرياضية. نعلم أنها تنهار في مرحلة ما. أعتقد أن الدافع الحديث لمسألة هيلبرت السادسة ينبغي أن يكون فهم ما يحدث عندما تنهار هذه النماذج".
يقول دينغ إنه مهتم بشكل خاص بما يحدث على أصغر المقاييس وأكثرها ميكروسكوبية، عندما تتطور معادلات السوائل العيانية إلى تفردات، أي عندما تصبح حلولها بلا معنى. يمكن أن يحدث هذا في مجموعة واسعة من الحالات في علم المحيطات وعلوم الغلاف الجوي، ولكن قد يتمكن الباحثون الآن من الحصول على صورة دقيقة بفضل ارتباطهم الدقيق بين المقياسين.
بالنسبة لتكسييه، فإن جميع آثار العمل الجديد غير واضحة بعد، وذلك ببساطة لأنه عمل رياضي غني ومعقد. ويضيف: "أعتقد أن استيعابه سيتطلب جهدًا كبيرًا من المجتمع".
المصدر: